Tangente & nombre dérivé
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Tangente
Prenons une courbe représentative d'une fonction.
Prenons 2 Points sur cette courbe.
Traçons la droite passant par ces 2 points
Réduisez maintenant l'écart entre les 2 points afin que leur distance se rapproche de 0 (Sans jamais l'atteindre).
100
On obtient alors la tangente à la courbe au point.
Le coefficient directeur de cette droite ("pente") est le nombre dérivé de la fonction
en
ce point.
↓ Le nombre dérivé ↓
Nombre dérivé
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ contenant $a$.
Soit $\mathscr{C}:y=f(x)$ sa courbe représentative
Dire que $f$ est dérivable en $a$ c'est dire qu'il existe un réel $l$ tel que : $l=\lim_{h \to
0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$
Il s'agit du nombre dérivé de $f$ en $a$, que l'on le note $f'(a)$
Il représente la "pente" d'une droite entre deux points de la courbe $\mathscr{C}$ d'abscisses $a$ et
$a+h$ quand $h$ est minuscule.
Ce sera donc le coefficient directeur de la tangente à $\mathscr{C}$ en $a$
La tangente à la courbe en $a$ est donc la droite passant par le point de la courbe $\mathscr{C}$
d'abscisse $a$ et de coefficient directeur $f'(a)$
Elle a pour équation: $y=f'(a)(x-a) + f(a)$
↓ Dérivée et Sens de variation ↓
Dérivée et sens de variation
La dérivée d'une fonction permet de déterminer son sens de variation.
Soit $I$ un intervalle sur lequel la fonction $f$ est dérivable et définie.
Si $\forall x \in I, f'(x) \ge 0$, alors $f$ est croissante sur $I$
Si $\forall x \in I, f'(x) < 0$, alors $f$ est décroissante sur $I$
↓ $\forall x \in I, f'(x) > 0$ ↓
↓ $\forall x \in I, f'(x) < 0$ ↓
↓ Exemples ↓
Dérivée et sens de variation
↓ Courbe représentative de la fonction $f$ ↓
↓ Courbe représentative de la dérivée $f'$ de la fonction $f$ ↓
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